Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 9 & 12 \\ 24 & 33 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$9 \cdot 33 - 24 \cdot 12$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $9$ por $33$ .

$297 - 24 \cdot 12$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $12$ .

$297 - 288$

Paso 2.2.2

Resta $288$ de $297$ .

$9$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{9} [\begin{array}{c} 33 & - 12 \\ - 24 & 9 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{9}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} \cdot 33 & \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (3)} \cdot 33 & \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.1.2

Factoriza $3$ de $33$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 11) & \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 11) & \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} \cdot 11 & \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & \frac{1}{3 (3)} \cdot - 12 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.3.2

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 4) \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.3.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 4) \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.3.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & \frac{1}{3} \cdot - 4 \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & \frac{- 4}{3} \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ \frac{1}{9} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3 (3)} \cdot - 24 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.6.2

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 8) & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.6.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 8) & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot - 8 & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ \frac{- 8}{3} & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ - \frac{8}{3} & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.9

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 6.9.1

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ - \frac{8}{3} & \frac{1}{9} \cdot 9 \end{array}]$

Paso 6.9.2

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{11}{3} & - \frac{4}{3} \\ - \frac{8}{3} & 1 \end{array}]$